Question

已知数列{a_n}有以下的特征：a₁=1，a₁，a₂，…，a₅是公差为1的等差数列；a₅，a₆，…，a₁₀是公差为d的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₁₅是公差为d²的等差数列；…；a_5n，a_5n+1，a_5n+2，…，a_5n+5是公差为dⁿ的等差数列（n∈N^*），其中d≠0．设数列b_n满足b_n=a_5n-a_5（n-1）（n≥2），b₁=a₅．
（Ⅰ） 求证数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ） 求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ） 当d＞-1时，证明对所有正奇数n，总有．

Answer

（Ⅰ）、根据已知条件便可求出当n≥2时bn的通项公式，然后求出=d，当n=1时，=d即可证明数列{bn}为等比数列；
（Ⅱ）、根据（Ⅰ）中求得的bn的通项公式即可写出Sn的表达式，然后分别讨论d=1和d≠1时Sn的表达式即可；
（Ⅲ）、根据中求得的Sn的表达式，然后分别证明当b＞0时和-1＜b＜0时对所有正奇数n，．即可证明当d＞-1时，证明对所有正奇数n，总有．
【解析】
（Ⅰ）证明：当n≥2时，bn=a5n-a5（n-1）=5dn-1，
∴（d≠0）． （2分）
又b1=a5=a1+4×1=5，b2=a10-a5=5d，
∴，（3分）
∴当n≥2时，都成立，
故数列{bn是以5为首项，d为公比的等比数列．（4分）

（Ⅱ）∵Sn=b1+b2+…+bn=5+5d+5d2+…+5dn-1
=（7分）

（Ⅲ）当d∈（0，+∞）时，Sn=5+5d+5d2+…+5dn-1＞5显然成立（8分）
当d∈（-1，0）时，1＜1-d＜2，又∵n为正奇数，
∴1＜1-dn
故，
∴． （10分）
或当d∈（-1，0）时，又n为正奇数，则1+d＞0＞2dn，所以2-2dn＞1-d＞0．
因此，∴． （10分）