Question

（类型A）已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间内是减函数，求a的取值范围．
（类型B）已知函数f（x）=x³-ax+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）在区间内是减函数，求a的取值范围．

Answer

（类型A）（1）求出函数f（x）=x3+ax2+x+1，对参数a的范围进行讨论得出函数的单调区间．
（2）设函数f（x）在区间内是减函数，即导数在在区间内恒小于0由二次函数的性质转化出关于参数的不等式，解出a的取值范围．
（类型B））（1）求出函数f（x）=x3-ax+1，对参数a的范围进行讨论得出函数的单调区间；
（2）先由函数求导，再由“函数f（x）在区间 内是减函数”转化为“f'（x）=3x2-a≤0在 恒成立”，进一步转化为最值问题：3x2≤a在 恒成立，求得函数的最值即可．
【解析】
（类型A）（1）f（x）=x3+ax2+x+1∴f'（x）=3x2+2ax+1
当a2≤3时，即 时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a2＞3时，即 或 时，△＞0，f'（x）=0求得两根为
即f（x）在 ，上递增，在 递减．
（2）f'（x）=3x2+2ax+1≤0在 恒成立．
即 在 恒成立．
可知 在 上为减函数，在 上为增函数． ．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．
（类型B）（1）f（x）=x3-ax+1∴f'（x）=3x2-a
当a≤0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增．
当a＞0时，f'（x）=0求得两根为x=±
即f（x）在（-∞，），（，+∞）上递增，在（，）递减．
（2）f'（x）=3x2-a≤0在 恒成立．
即a≥3x2在 恒成立．
可知3x2在（-，）上为减函数，
所以a≥．a的取值范围是[，+∞）．