Question

已知函数f（x）=|x-a|及g（x）=x²+2ax+1（a＞0且a为常数），且函数f（x）及g（x）的图象与y轴交点的纵坐标相等．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer

（Ⅰ）由题意得：f（0）=g（0），即|a|=1，可得a=1．
（Ⅱ）由（I）可得：F（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x2+2x+1，分段讨论：当x≥1时与当x＜1时，F（x）的单调性，再结合函数的解析式证明函数在整个区间内单调．
【解析】
（Ⅰ）由题意得：f（0）=g（0），
即|a|=1，
又因为a＞0，
所以a=1．
（Ⅱ）由（I）可得：F（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x2+2x+1
①当x≥1时，F（x）=（x-1）+x2+2x+1=x2+3x=，
所以根据二次函数的现在可得：F（x）在[1+∞）在上单调递增．  
②当x＜1时，F（x）=-（x-1）+x2+2x+1，
所以根据二次函数的现在可得：F（x）在上单调递增．
因为当x=1时，F（x）=4；当x＜1时，F（x）＜4，
所以F（x）在上单调递增．