Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a（a＞3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若（n∈N^*），证明对任意的n∈N^*，不等式恒成立．

Answer

（Ⅰ）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）．所以bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．
（Ⅱ）由已知，先求cn=3n-2，从而将问题转化为，用数学归纳法证明．
（Ⅰ）【解析】
依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）．因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1，n∈N*．…（5分）
（Ⅱ）证明：由已知，
则，所以．…（7分）
下面用数学归纳法证明不等式成立．
①当n=1时，左边=2，右边=，因为，所以不等式成立．…（8分）
②假设当n=k时不等式成立，即成立．
则当n=k+1时，左边
===．…（11分）
要证成立，只需证成立，
由于（3k+1）2＞0，只需证（3k+2）3＞（3k+4）（3k+1）2成立，只需证27k3+54k2+36k+8＞27k3+54k2+27k+4成立，
只需证9k+4＞0成立，由于k∈N*，所以9k+4＞0成立．即=成立．
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①，②可得不等式恒成立．…（14分）