Question

已知函数，函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x∈[-2，2]，
使得g（x）=f（x₁）成立．
（1）求f（x）的值域．
（2）求实数a的取值范围．

Answer

（1）对于分段函数的值域问题要分段求解，然后再综合即可得出f（x）的值域；
（2）根据对于任意x1∈[-2，2]，总存在x∈[-2，2]，使得g（x）=f（x1）成立，得到函数f（x）在[-2，2]，上值域是g（x）在[-2，2]，上值域的子集，下面利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[-2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）当
当 x∈（0，2]时，f（x）=2|x-2|=22-x在（0，，2]上是减函数，此时f（x）∈[1，4）
∴f（x）的值域为：[0，4]；
（2）①若a=0，g（x）=-1，对于任意 x1∈[-2，2]，f（x1）∈[0，4]，不存在x∈[-2，2]，使g（x）=f（x1）
②当a＞0时，g（x）=ax-1在[-2，2]是增函数，g（x）∈[-2a-1，2a-1]
任给 x1∈[-2，2]，f（x1）∈[0，4]
若存在x∈[-2，2]，使得g（x）=f（x1）成立
则 ，∴
③a＜0，g（x）=ax-1在[-2，2]是减函数，g（x）∈[2a-1，-2a-1]
∴，∴
综上，实数 ．