Question

在平面直角坐标上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n）…，对一切正整数n，点P_n在函数
y=3x+的图象上，且P_n的横坐标构成以-为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（Ⅰ）求点P_n的坐标；
（Ⅱ）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1），记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为K_n，求++…+的值．

Answer

（I）根据等差数列的通项公式可求得xn，进而代入直线方程求得yn，则点P的坐标可得．
（II）先设出Cn的方程，把D点代入求得a，进而对函数进行求得求得切线的斜率，即kn的表达式，进而用裂项法求得
【解析】
（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，
∴设Cn的方程为 ．
把Dn（0，n2+1）代入上式，得a=1，
∴Cn的方程为y=x2+（2n+3）x+n2+1．
∵kn=y'|x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．