Question

在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 A_j，j=1，2，…，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列B_k，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等边三角形，其中A是坐标原点，设第n个等边三角形的边长为a_n．
（1）求a_n的通项公式
（2）设，求证：．

Answer

（1）设第n个等边三角形的边长为an，利用顶点Bn在第n个等边三角形的在抛物线上，结合Bn的纵坐标为．建立等式化简得，然后再写一式，两式相减得（an-an-1-1）（an+an-1）=0，由于an+an-1≠0，所以an-an-1=1．从而可求an的通项公式；
（2）由已知条件可知，又因为，再求和利用放缩法求证即可．
【解析】
（1）设第n个等边三角形的边长为an．则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为，）．
再从第n个等边三角形上，我们可得Bn的纵坐标为．
从而有，
即有．
由此可得①
以及②
①-②即得．
变形可得（an-an-1-1）（an+an-1）=0．
由于an+an-1≠0，所以an-an-1=1．
在①式中取n=1，可得，而a1≠0，故a1=1．所以an=n
（2）由已知条件可知，
又因为
所以＜＜