Question

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x，使得对于任意实数x₁，x₂总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对任意正整数n，有，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n和T_n；
（3）若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

Answer

（1）由题意对于任意实数x1，x2等式恒成立，故可采用赋值法求解；（2）先证明{f（n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此得，从而可求Sn，再证{bn}是等比数列从而可求Tn；
（3）设F（n）=an+1+an+2+…+a2n证明其单调减，从而有，所以，解不等式，可得x的取值范围．
【解析】
（1）令x1=x2=0，f（0）=f（x）+2f（0），f（x）=-f（0）
令x1=1，x2=0，f（x）=f（x）+f（1）+f（0），f（1）=-f（0），∴f（x）=f（1）
∵f（x）单调，∴x=1
（2）f（1）=1，令x1=n，x2=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+f（1）=f（n）+2
∴f（n+1）-f（n）=2（n∈N*），∴{f（n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴f（n）=2n-1（n∈N*）
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

∵
∴
∴==
（3）令F（n）=an+1+an+2+…+a2n
∴n≥2，n∈N*时，
∴
即解得