Question

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心（定点）．受此启发，研究下面问题：
1过（1）中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB，问：弦AB是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；2研究：对于抛物线上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

Answer

（1）由条件可知动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离，抛物线的定义加以证明．
（2）先设A（x1，y1）、B（x2，y2）及中点P的坐标，根据中点的定义得到三点坐标之间的关系，再由OA⊥OB得到 •=-1，再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y1y2、y12+y22的关系消去x1、y1、x2、y2可得到最后答案．；
设AB的方程为y=mx+n，代入y2=4x．得y2-2my-2n=0，然后由根与系数的关系可以得到直线AB的方程为x=my+my+x+2，它一定过交点（x+2，-y）．
【解析】
（1）证明：由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离
根据抛物线的定义可知，M的轨迹是抛物线
所以抛物线方程为：y2=4x
（2）
（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），
lAB：y=kx+b，（b≠0）由消去y得：k2x2+（2bk-4）kx+b2=0，x1x2=．
∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，y1y2=
所以x1x2+（x1x2）2=0，b≠0，∴b=-2k，∴直线AB过定点M（1，0），
（ii）设p（x，y）设AB的方程为y=mx+n，代入y2=2x
得y2-2my=-2n=0
∴y1+y2=2m，y1y2-2n其中y1，y2分别是A，B的纵坐标
∵AP⊥PB∴kmax•kmin=-1
即
∴（y1+y）（y2+y）=-4
•y1y2+（y1+y2）y+y2-4=0
（-2n）+2my+2x+4=0，
=my+x+2
直线PQ的方程为x=my+my+x+2，
即x=m（y+y）+x+2，它一定过点（x+2，-y）