Question

设f（x）=x²，g（x）=8x，数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=2，（a_n+1-a_n）•g（a_n-1）+f（a_n-1）=0，记．（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n为何值时，b_n取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）求出g（an-1），f（an-1）将它们代入已知等式得到关于an的等式，判断出各项都不是1，将其变形得到
8（an+1-1）=7（an-1），利用等差数列的定义得到证明．
（II）作出数列{bn}终相邻两项的商，通过讨论n判断出商与1的大小，即得到数列的单调性，进一步得到bn取最大值时n的值．
（III）由于数列{bn}的通项特点是一个等差数列与一个等比数列的积，利用错位相减的方法求出数列的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）由已知，得（an+1-an）•8（an-1）+（an-1）2=0．
即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．                
∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
∴8an+1=7an+1．                          
即8（an+1-1）=7（an-1），
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，为公比的等比数列．  
（Ⅱ）由（1），得．
∴．                 
则．
∵，设≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
∴当n=6或7时，bn取得最大值．                        
（Ⅲ）
相减得：=
=
∴．