Question

已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）设x∈[-e，0），利用函数为奇函数，得到f（-x）=-f（x），将f（-x）的值代入，求出f（x）在x∈[-e，0）的解析式．
（2）求出f′（x）=0的根，讨论根不在定义域内时，函数在定义域上递增，求出最小值，令最小值等于4，求a；根在定义域内，列出x，f′（x），f（x）d的变化情况表，求出函数的最小值，列出方程求a值．
【解析】
（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴f（-x）=-ax+2ln（-x）．∵f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为：
（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵．
①当时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x）min=f（-e）=-ae-2=4，解得（舍去）
②当

x
f'（x） - +
f（x） ↘ ↗

∴，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．