Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}的首项b₁=1，且满足，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

Answer

（1）利用等比数列的定义，构造进行证明．
（2）利用（I）可先求an+1-an=2n，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an
（3）由已知可得bn+1=bn所以{bn}是首项为1的常数数列．
【解析】
（1）证明：∵an+2=3an+1-2an∴an+2-an+1=2（an+1-an）…（2分）∵a1=1，a2=3∴a2-a1=2≠0
∴{an+1-an}是以2为首项，2为公比的等比数列．  …（4分）
（2）【解析】
由（I）得an+1-an=2n  …（5分）∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，…（7分）
=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1…（9分）
（3）因为，
且由（II）知，bn+1=bn…（10分）
所以{bn}是首项为1的常数数列           …（11分）
所以Sn=n（n∈N*）…（13分）