Question

已知函数y=f（x），x∈N，f（x）∈N，满足：对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）
（1）试证明：f（x）为N上的单调增函数；
（2）∀n∈N，且f（0）=1，求证：f（n）≥n+1；
（3）对任意m，n∈N，有f（n+f（m））=f（n）+1+m，证明：．

Answer

（1）由已知中对任意x1，x2∈N，x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），我们易得（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，根据函数单调性的定义，即可得到答案．
（2）由（1）中函数的单调性，我们可得∀n∈N都有f（n+1）≥f（n）+1，f（n+1）-f（n）≥1…f（2）-f（1）≥1，f（1）-f（0）≥1，利用累加法即可得到答案．
（3）令m=0，可得出f（0）=1，则f（n+1）=f（n）+1，则f（n）=n+1，进而根据等比数列的前n项和公式，求出不等式左边的值，即可得到答案．
证明：（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数．-----（3分）
（2）由（1）可知∀n∈N都有f（n+1）＞f（n），则有f（n+1）≥f（n）+1-----（5分）∴f（n+1）-f（n）≥1，∴f（n）-f（n-1）≥1…∴f（2）-f（1）≥1∴f（1）-f（0）≥1
由此可得f（n）-f（0）≥n∴f（n）≥n+1命题得证---------------------------------------------------------（8分）
（3）令m=0，可得出f（0）=1-------------------------------------------------------------（10分）
则f（n+1）=f（n）+1，则f（n）=n+1---------------------------------------------------（12分）--------（14分）