Question

直角坐标平面中，过点A₁（1，0）作函数f（x）=x²（x＞0）的切线l₁，其切点为B₁（x₁，y₁）；过点A₂（x₁，0）作函数g（x）=e^x（x＞0）的切线l₂，其切点为B₂（x₂，y₂）；过点A₃（x₂，0）作函数f（x）=x²（x＞0）的切线l₃，其切点为B₃（x₃，y₃）；如此下去，即过点A_2k-2（x_2k-2，0）作函数f（x）=x²（x＞0）的切线l_2k-1，其切点为B_2k-1（x_2k-1，y_2k-1）；过点A_2k-1（x_2k-1，0）作函数g（x）=e^x（x＞0）的切线l_2k，其切点为B_2k（x_2k，y_2k）；…．
（1）求x_2k-2与x_2k-1及x_2k-1与x_2k的关系；
（2）求数列{x_n}通项公式x_n；
（3）是否存在实数t，使得对于任意的自然数n，不等式+++…+≤t-恒成立？若存在，求出这样的实数t的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）可利用导数几何意义求出以B2k-1（x2k-1，y2k-1）为切点的切线l2k-1的方程，又因为切线l2k-1过点A2k-2（x2k-2，0），代入可得x2k-2与x2k-1的关系；同理可得x2k-1与x2k的关系；
（2）由（1）的递推关系可得x2k=2x2k-2+1，用构造新数列法，可知数列{x2k+1}为等比数列，从而求得此数列的通项公式，进而求得{x2k}的通项公式，再利用x2k-2与x2k-1的关系，求出数列{x2k-1}的通项公式，最后写出数列
{xn}通项公式即可
（3）利用错位相减法将Sn=+++…+求和，再利用Sn+1-Sn＞0证明其为递增数列，所以将Sn的最大值是Sn，利用数列极限的求法可求出此值，再使t-不小于这个极限值，解不等式得t的取值范围
【解析】
（1）∵f′（x）=2x，
∴切线l2k-1的方程为y-x2k-12=2x2k-1（x-x2k-1），又切线l2k-1过点A2k-2（x2k-2，0），
∴0-x2k-12=2x2k-1（x2k-2-x2k-1），且x2k-1＞0，
∴x2k-1=2x2k-2．
∴x1=2．
又∵g′（x）=（ex）′=ex，
∴切线l2k的方程为y-=（x-x2k），而切线l2k过点A2k-1（x2k-1，0），
∴0-=（x2k-1-x2k），且x2k＞0，
∴x2k=x2k-1+1．
∴x2=x1+1=3．
故x2k-2与x2k-1的关系为x2k-1=2x2k-2；  x2k-1与x2k的关系为x2k=x2k-1+1．
（2）由（1）可知x2k=x2k-1+1=2x2k-2+1，即x2k+1=2（x2k-2+1），
∴数列{x2k+1}为等比数列，且首项为4，
∴x2k+1=4×2k-1，即x2k=2k+1-1．
而x2k-1=2x2k-2=2（2k-1）=2k+1-2，故数列{xn}通项公式为xn=
（3）（理）令Sn=+++…+=+++…+，
∴Sn=+++…+，
两式相减得Sn=++++…+-
=-=（1-）-，
∴Sn=1--=1-．
∴Sn+1-Sn=（1-）-（1-）=＞0，
∴数列{Sn}递增．
又当n≥6时，2n+1=2（1+1）n=2（1+Cn1+Cn2+Cn1+CCn3+…+Cnn-3+Cnn-2+Cnn-1+Cnn）＞4（1+Cn1+Cn2）＞2（n2+n），
∴0＜，而=0，
∴Sn=1．
∴对于任意的自然数n不等式恒成立等价于t-≥1，
∴t[-2，0）∪[3，+∞）