Question

如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）设二面角M-BD-A的平面角为β，求cosβ．

Answer

（I）分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，求出与的坐标，然后计算它们的数量积为0，从而得到DM⊥EB；
（II）先分别求出平面MBD的法向量和取z=2得平面MBD的一非零法向量然后利用空间向量夹角公式求出法向量的夹角，从而求出二面角的平面角的余弦值．
【解析】
分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，
则A（0，0，0），E（2a，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，a），D（0，0，2a）
所以．
（Ⅰ）：
．
∴，即DM⊥EB．
（Ⅱ）【解析】
设平面MBD的法向量为，
由，，得
⇒
取z=2得平面MBD的一非零法向量为，
又平面BDA的一个法向量．
∴，