Question

关于x的不等式|x-1|+|x-2|＞a²+a+1的解集为R，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（1，2）
D．（-∞，-1）

Answer

欲使得：“关于x的不等式|x-1|+|x-2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立”，只须a2+a+1小于左式的最小值即可，故问题转化为先求左式的最小值，再解一个不等式即可．
【解析】
∵关于x的不等式|x-1|+|x-2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立，
∴（|x-1|+|x+2|）的最小值＞a2+a+1，
又|x-1|+|x+2|≥|x-1-（x-2）|=1，
∴a2+a+1＜1，
解之得：a∈（-1，0）．
故选B．