Question

给出下列命题：
（1）∀x∈（0，+∞），恒有log₂x+2²＞2x成立；
（2）∃x∈（0，+∞），使得log₂x+2^x＞2x成立；
（3）∀（a，b）∈{（x，y）|y=2^x}，必有（b，a）∈{（x，y）|y=log₂x}；
（4）∃x∈（0，+∞），使得log₂x=2^x．
其中正确命题是（ ）
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（2）（3）
D．（2）（4）

Answer

对于（1）（2）可取特殊值进行说明，对于（3）根据反函数的性质可知结论，对于（4）根据函数y=2x与函数y=log2x的图象无交点，故不存在x∈（0，+∞），使得log2x=2x，从而得到结论．
【解析】
（1）当x=8时，log28+22=3+4=7＜16，log2x+22＞2x不成立
（2）当x=2时，log22+22=1+4=5＞4，故∃x∈（0，+∞），使得log2x+2x＞2x成立；
（3）根据函数y=2x与函数y=log2x互为反函数可知图象关于y=x对称，从而∀（a，b）∈{（x，y）|y=2x}，必有（b，a）∈{（x，y）|y=log2x}成立；
（4）函数y=2x与函数y=log2x的图象无交点，故不存在x∈（0，+∞），使得log2x=2x．
故选C．