Question

已知函数f（x）=x³+2x²+x．
（I）求函数f（x）的单调区间与极值；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的导数，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义判断出极值即可；
（II）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax2恒成立，则必有a≤对于任意x∈（0，+∞），恒成立，易求．
【解析】
（I）∵f'（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）
令f'（x）＞0得x＞-或x＜-1
故函数在（-∞，-1）与（-，+∞）是增函数，在（-1，-）是减函数，故函数在x=-1处取到极大值，在x=-处取到极小值
极大值为0，极小值-
（II）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）≥ax2恒成立，则必有a≤=x++2对于任意x∈（0，+∞），恒成立，
∵x++2≥4，等号当且仅当x==1时成立
∴a≤4
∴实数a的取值范围（-∞，4]