Question

已知函数．
（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer

（Ⅰ）利用奇函数的定义，考查f（-x）=-f（x）在定义域内是否恒成立，若是则为奇函数，否则不是奇函数．
（Ⅱ）利用增函数的定义，证明对于（1，+∞）内任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：函数的定义域是（-∞．0）∪（0，+∞）
由，
可得，
所以函数f（x）为奇函数．                    
（Ⅱ）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则==，
由x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，可知x1＜x2，x1x2-1＞0，
所以f（x1）＜f（x2）．
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数