Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅲ）判断并证明函数的单调性．

Answer

（I）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式即可得到函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）由（I）中结论，可以得到函数的定义域关于原点对称，进而判断f（x）与f（-x）的关系，即可得到函数的奇偶性；
（III）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，构造两个函数值的差，根据对数的运算性质，判断差的符号，结合函数单调性的定义，即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由，可得
可得-1＜x＜1．
即函数f（x）的定义域为（-1，1）．              …（4分）
（Ⅱ）由，
所以函数f（x）为奇函数．                   …（8分）
（Ⅲ）任取x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则
=
=，
由x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
可知0＜1+x1-x2+x1x2＜1-x1+x2+x1x2，
所以，
可得，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（-1，1）为增函数．                …（12分）