Question

定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则f（2009）的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

Answer

因为f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．由此可得f（1+x）=-f（x-1），即f（x）=-f（x-2），利用仿写的方法可得f（x）=f（x-4），即函数f（x）是周期函数并且周期为4．
进而得到f（2009）=f（4×502+1）=f（1），再结合题意可得答案．
【解析】
因为函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
又因为f（1+x）=f（1-x），
所以f（1+x）=-f（x-1），即f（x）=-f（x-2），
所以f（x-2）=-f（x-4），
所以f（x）=f（x-4），即函数f（x）是周期函数并且周期为4．
所以f（2009）=f（4×502+1）=f（1）．
因为当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，
所以f（1）=1，即f（2009）=1．
故选C．