Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB斜长为，求此椭圆的方程．

Answer

先根据圆的方程配方得出圆心坐标和直径，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
【解析】
圆（x-2）2+（y-1）2=，直径AB=
设椭圆：（a＞b＞0），
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（2，1）
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
AB斜率为，∴KAB=
由
将直线AB的方程y=-x+2，代入椭圆方程得：x2+4y2-4b2=0
∴x1+x2=4，x1x2=8-2b2，
|AB|=|x1-x2|，∴10=（1+）2[42-4（8-2b2）]
解得：a2=12，b2=3，
故椭圆的方程为：+=1．