Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数
③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则f（x）的周期为2
④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据f（x-1）的图象由f（x）的图象向右移一个单位可知①②的真假，根据对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则f（x-2）=-f（x-1）=f（x）可知函数的周期从而确定③的真假，根据y=f（x-1）的图象由f（x）的图象向右移一个单位，y=f（1-x）的图象是由f（x）的图象关于y轴对称后向右平移一个单位，可知④的真假．
【解析】
∵f（x）是奇函数∴f（x）的图象关于原点对称，
而f（x-1）的图象由f（x）的图象向右移一个单位，
故f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，故①正确；
若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，而f（x-1）的图象由f（x）的图象向右移一个单位，
则f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）为偶函数故②正确；
若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则f（x-2）=-f（x-1）=f（x）∴f（1）是周期函数，且周期为2，故③正确；
y=f（x-1）的图象由f（x）的图象向右移一个单位，y=f（1-x）的图象是由f（x）的图象关于y轴对称后向右平移一个单位
∴函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．故④正确；
故选D