Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA．
（I）求三棱锥P-AB₁C与三棱锥C₁-AB₁P的体积之比；
（II）当k为何值时，直线PA⊥B₁C．

Answer

（I）B1P是三棱锥B1-PAC的高，B1P是三棱锥B1-PAC的高，
利用以及
求三棱锥P-AB1C与三棱锥C1-AB1P的体积之比；
（II）证明k=1，AP⊥面B1PC，推出直线PA⊥B1C．
【解析】

（I）由B1P⊥面A1C，
得B1P是三棱锥B1-PAC的高，
又∵AA1⊥面A1B1C1，∴AA1是三棱锥A-B1PC1的高．（2分）（4分）
，
所以三棱锥P-AB1C与三棱锥C1-AB1P的体积之比是2．（6分）
（II）要使直线AP⊥B1C，
只需AP⊥面B1PC．
因为B1P⊥面A1C，
所以B1P⊥AP．
所以只需PA⊥PC．（9分）∵，
又，∴k=1．（11分）
反知，当k=1时，AP⊥面B1PC，
所以AP⊥B1C成立．（11分）