Question

椭圆上不同三点与焦点F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证x₁+x₂=8；
（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．

Answer

（1）由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．由圆锥曲线的统一定义知：=，|AF|=a-ex1=5-x1．同理|CF|=5-x2．由此能够证明即x1+x2=8．
（2）因为线段AC的中点为（4，），所以它的垂直平分线方程为y-=（x-4），由点T在x轴上，设其坐标为（x，0），代入上式x-4=，再由点A（x1，y1），B（x2，y2），都在椭圆上，知y22=（25-x22），由此能求出直线的斜率．
（1）证明：由椭圆方程知a=5，b=4，c=3．
由圆锥曲线的统一定义知：=，
∴|AF|=a-ex1=5-x1． 同理|CF|=5-x2．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=，
∴（5-x1）+（5-x2）=，即x1+x2=8．
（2）【解析】
因为线段AC的中点为（4，），所以它的垂直平分线方程为
y-=（x-4）
又∵点T在x轴上，设其坐标为（x，0），代入上式x-4=，
又∵点A（x1，y1），B（x2，y2），都在椭圆上，
∴y22=（25-x22）
∴y12-y22=-（x1+x2）（x1-x2）．
将此式代入①，并利用x1+x2=8的结论得x0-4=-，KBT==．