Question

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a=3时，求函数f（x）的单调性；
（3）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

Answer

（1）将a=1代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（1），切点为（1，2），根据点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意知当0＜x≤e时，，f（x）在（1，e]内单调性．当x≥e时，恒成立，故f（x）在[e，+∞）内单调递增．由此可知f（x）的单调增区间和单调递减区间；
（3）分x≥e和x＜e两种情况讨论．分别对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断出函数f（x）的单调性后可得到答案．
解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx-1|
令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）当a=2时，f（x）=x2+3|lnx-1|
=
当0＜x≤e时，，
f（x）在（0，]内单调递减，在（，e]上单调递增；
当x≥e时，恒成立，
故f（x）在（0，]内单调递减，在（，+∞）上单调递增；
（3）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+1，
（1≤x＜e）
（i）当 ，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，ymin=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当 ，即2＜a＜2e2时，
f'（x）在 时为负数，在间 时为正数
所以f（x）在区间 上为减函数，在 上为增函数
故当 时，，
且此时
（iii）当 ；即a≥2e2时，
f'（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，ymin=f（e）=e2．
综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；
当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为 ，
而 ，
所以此时f（x）的最小值为 ．
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为 ．