Question

设F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f^′（x）g（x）+f（x）g^′（x）＞0，且g（2）=0，则不等式F（x）＜0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer

先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数F（x）的奇偶性可确定F（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（-2）=0可求得答案
【解析】
因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即[f（x）g（x）]'＞0
故F（x）在x＜0时递增，
又∵F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，
∴F（x）的图象关于原点对称，
所以F（x）在x＞0时也是增函数．
∵f（2）g（2）=0，
∴f（-2）g（-2）=0．
即F（-2）=0且F（2）=0
所以F（x）＞0的解集为：x＜-2或0＜x＜2．
故选D．