(1)由题意知f'(x)=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3,把这个根代入得到字母系数的值,求出a=5,再求出函数的极值,把极值同两个端点的值进行比较得到最值.(2)对函数求导,要f(x)在R上是增函数,则有3x2-2ax+3≥0在R内恒成立,问题转化成恒成立问题,根据基本不等式得到结果.
【解析】
(1)由题意知f'(x)=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3,从而f′(3)=0,解得a=5,所以f'(x)=3x2-10x+3=0的另一个根为,函数在(1,3)上为减函数,(3,5)上为增函数,从而可知当x=5时,f(x)在x∈[1,5]上的最大值
是15
(2)函数f(x)是R上的单调递增函数转化为3x2-2ax+3≥0在R内恒成立,
从而有f'(x)=3x2-10x+3=0的△≤0,解得a∈[-3,3].