Question

已知函数f（x）=ax²-bx+c（a＞0，b、c∈R），曲线y=f（x）经过点P（0，2a²+8），且在点Q（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，设g（x）=（f（x）-16）•e^-x．
（1）用a分别表示b和c；（2）当取得最小值时，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer

（1）将P的坐标代入函数f（x）得到a，c的关系，求出导函数在x=-1处的值即切线的斜率，令其为0得到a，b的关系．
（2）将（1）中的关系代入得到关于a的函数，利用基本不等式求出最小值，求出等号成立时a的值，代入g（x）；求出g（x）的导数，令导数大于0求出x范围即为函数的定义域．
【解析】
（1）∵经过点P（0，2a2+8），
∴c=2a2+8；
由切线垂直于y轴可知f′（-1）=0，从而有-2a+b=0，
∴b=2a
（2）因为a＞0从而，
当且仅当，即a=2时取得等号．
∴f（x）=2x2+4x+16；g（x）=（2x2+4x）e-x
∴g′（x）=e-x（4-2x2）
因为e-x＞0
∴g′（x）＞0时g（x）为单调递增函数，即为单调递增区间