Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大小；
（3）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer

（1）由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点，中点这样信息，得到线线PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD线面平行，利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行；
（2）有正三棱柱及二面角平面角的定义，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（3）利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角，然后再三角形中解出即可．
【解析】
（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，
∵D为AC中点，∴PD∥B1C．
又∵PD∥平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD．

（2）∵正三棱住ABC-A1B1C1，
∴AA1⊥底面ABC．
又∵BD⊥AC
∴A1D⊥BD
∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角．
∵AA1=，AD=AC=1
∴tan∠A1DA=
∴∠A1DA=，即二面角A1-BD-A的大小是．

（3）由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．
∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵AM⊂平面A1ACC1，
∴BD⊥AM
∵A1D∩BD=D
∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．
∵AA1=，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA=，
∴AM=1×sin60°=，AP=AB1=．
∴sin∠APM=
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为．