Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角E-AB-C的大小．

Answer

（1）取BC的中点D，连AD、OD，根据OB=OC，判断出OD⊥BC、AD⊥BC，进而可知BC⊥面OAD．过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所求的距离．进而根据OA⊥OB，OA⊥OC判断出OA⊥面OBC，则OA⊥OD，利用勾股定理求得AD，进而在角三角形OAD中，利用OH=求得OH．
（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，ÐBEM是异面直线BE与AC所成的角，根据题意求得EM，BE和BM，进而利用余弦定理求得cos∠BEM，则异面直线BE与AC所成的角可求得．
（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF．由OC⊥面OAB，得OC⊥AB，又OH⊥面ABC，所以CF⊥AB，EF⊥AB，则ÐEFC就是所求的二面角的平面角．在Rt△OAB中，根据OF=求得OF，进而在Rt△OEF中，利用勾股定理求得EF，进而求得sin∠EFG，则∠EFG可求．
【解析】
（1）取BC的中点D，连AD、OD
因为OB=OC，则OD⊥BC、AD⊥BC，
∴BC⊥面OAD．
过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就
是所求的距离．又BC=2，OD=
=，又OA⊥OB，OA⊥OC
∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD
AD==，在直角三角形OAD中，
有OH=
（2）取OA的中点M，连EM、BM，
则EM∥AC，ÐBEM是异面直线BE与AC
所成的角，易求得EM=，BE=，
BM=．由余弦定理可求得cosÐBEM=，

∴∠BEM=arccos
（3）连CH并延长交AB于F，连OF、EF．
由OC⊥面OAB，得OC⊥AB，又OH⊥面ABC，所以CF⊥AB，EF⊥AB，
则ÐEFC就是所求的二面角的平面角．
作EG⊥CF于G，则EG=OH=，在Rt△OAB中，OF=
在Rt△OEF中，EF=
∴sin∠EFG=
∴∠EFG=arcsin．