Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E为棱AB的中点．
（1）证明：D₁⊥A₁D；
（2）求二面角D₁-EC-D的大小；
（3）求点D到平面D₁EC的距离．

Answer

（1）连接A1D，AD1，根据长方体的几何特征，我们易得AD1是D1E在平面AD1内的摄影，由AD=A1A，可得四边形A1DD1A为正方形，进而根据三垂线定理可得D1E⊥A1D；
（2）连接DE，根据等腰直角三角形的性质，及线面垂直的判定和性质，可得DE⊥EC，D1E⊥EC，进而由∠D1ED即为二面角D1-EC-D的平面角，解三角形D1ED即可得到二面角D1-EC-D的大小；
（3）过点D作DF⊥D1E于F，结合（2）的结论，可证得DF⊥面D1EC，即DF为点D到平面D1EC的距离，根据等面积法，我们易解三角形D1ED得到DF长．
证明：（1）连接A1D，AD1，在长方体中，AE⊥平面AD1
∴AD1是D1E在平面AD1内的投影，
∵AD=A1A
∴四边形A1DD1A为正方形，
∴AD1⊥A1D，
由三垂线定理：
D1E⊥A1D，…（4分）
【解析】
（2）连接DE，
∵E为AB的中点，
∴AD=AE，EB=BC
∴∠AED=∠BEC=45°
∴DE⊥EC
∴DD1⊥平面ABCD
∴D1E⊥EC
故∠D1ED即为二面角D1-EC-D的平面角
在△D1ED中，DD1=1，DE=
∴∴
故二面角D1-EC-D的大小为arctan…..（8分）
（3）过点D作DF⊥D1E于F
由（2）可得EC⊥面D1DE，有EC⊂面D1EC
∴面D1EC⊥面D1DE
∴DF⊥面D1EC
故DF为点D到平面D1EC的距离…（10分）
∵D1E2=DE2+DD12
∴D1E=，
DF==
故点D到平面D1EC的距离为…（12分）