Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（，），线段OP的垂直平分线经过抛物线的焦点F，经过F作两条互相垂直的弦AB、CD、，设AB、CD的重点分别为M、N
（1）求抛物线的方程；
（2）直线MN是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，试说明理由．

Answer

（1）由p（），O（0，0），得到直线OP的k斜率：KOP=，从而得出OP的垂直平分线所在直线方程，最后令y=0，可得：p=2，从而写出抛物线方程即可；
（2）假设直线MN过定点，设A（xA，yA），B （xB，yB），M（xM，yM），设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得直线MN的方程，从而解决问题．
【解析】
（1）由p（），O（0，0），
∴kOP=，线段OP的中点为：（），
∴OP的垂直平分线所在直线方程y-，即2x+y-2=0．
令y=0，解得：x=1，故得：p=2
抛物线方程为：y2=4x…..（4分）
（2）假设直线MN国定点
设A（xA，yA），B （xB，yB），M（xM，yM），
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）
与抛物线联立可得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0
由韦达定理：xA+xB=2+
∴xM=+1
∴点M的坐标为（+1，-2k）
当k≠±1
直线MN的斜率为：
方程为：y+2k=（x-2k2-1
整理得：y（1-k2）=k（x-3）
直线恒经过定点（3，0）
当k=±1时，直线MN方程为X=3，经过（3，0）
综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）…（12分）