Question

已知S_n为数列a_n的前n项和，且2a_n=S_n+n．
（I）若b_n=a_n+1，证明：数列b_n是等比数列；
（II）求数列S_n的前n项和T_n．

Answer

（I）先根据2an=Sn+n得到2an+1=Sn+1+（n+1），然后两式相减可得到关系式an+1=2an+1，再结合bn=an+1对an+1=2an+1两边同时加1可得到an+1+1=2（an+1），即bn+1=2bn，即可证明数列bn是等比数列．
（II）根据（I）先求出数列bn的通项公式，进而可得到an和Sn的表达式，最后对数列Sn进行分组求和即可得到答案．
【解析】
（I）n=1时，2a1=S1+1，
∴a1=1．
由题意得2an=Sn+n，2an+1=Sn+1+（n+1），
两式相减得2an+1-2an=an+1+1
即an+1=2an+1．
于是an+1+1=2（an+1），
即bn+1=2bn，
又b1=a1+1=2．
所以数列bn是首项为2，公比为2的等比数列．
（II）由（I）知，bn=2×2n-1=2n，an=bn-1=2n-1，
由2an=Sn+n，得Sn=2n+1-n-2，
∴Tn=（22+23++2n+1）-（1+2+3++n）-2n
=