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已知三点A(-1,0),B(1,0),,曲线E过C点,且动点P在曲线E上运动,并...

已知三点A(-1,0),B(1,0),manfen5.com 满分网,曲线E过C点,且动点P在曲线E上运动,并保持|PA|+|PB|的值不变.
(I)求曲线E的方程;
(II)若C、M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线E上的不同三点,直线CM、CN的倾斜角互补.问直线MN的斜率是否是定值?如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.
(I)由于保持|PA|+|PB|的值不变,可知动点P到两个定点的距离和这常数,结合椭圆的定义知P点轨迹是椭圆,从而问题解决; (II)对于探索性问题,可先设直线CM、CN方程,将直线的方程与椭圆的方程联立,消去y得到一个关于x的二次方程,利用根与系数的关系求出交点的坐标(用k表示),最后利用斜率公式求出直线MN的斜率看它是不是常数即可. 【解析】 (I)由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4>2=|AB|=2c,(3分) ∴由定义得P点轨迹是椭圆, 且b2=a2-c2=3. 因此,曲线E的方程为(5分) (II)由条件知直线CM,CN的斜率存在且不为0, 设直线CM的方程为, 由消去y, 整理得(4k2+3)x2+4k(2k+3)x+4k2+12k-3=0 ∵C在椭圆上, ∴方程两根为,(9分) ∵直线PM,PN的倾斜角互补, ∴直线PM,PN的斜率互为相反数, ∴(11分) 则 又, ∴ ∴直线MN的斜率(定值)(13分)
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考点分析:
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