Question

已知函数f（x）=2x³-ax²+6bx在x=-1处有极大值7．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer

（I）先对函数求导，根据函数在x=-1处有极大值7，得到函数在-1处的导数为0，且此处的函数值是7，列出关于字母系数的方程组，解方程组即可．
（II）根据上一问做出来的函数的解析式，是函数的导函数分别大于零和小于零，解出对应的不等式的解集，就是我们要求的函数的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=6x2-2ax+6b，（1分）
（2分）
．（4分）
∴f（x）=2x3-3x2-12x．（5分）
（Ⅱ）∵f'（x）=6x2-6x-12，令6x2-6x-12＜0，
令6x2-6x-12＞0，x2-x-2＜0，
x2-x-2＞0，（x+1）（x-2）＜0，
（x+1）（x-2）＞0，（x+1）（x-2）＜0，
∴x＜-1或x＞2．∴-1＜x＜2（8分）
∴f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）内为增函数，（9分）
f（x）在（-1，2）内为减函数．（10分）