Question

P、Q是抛物线C：y=x²上两动点，直线l₁，l₂分别是C在点P、点Q处的切线，l₁∩l₂=M，l₁⊥l₂．
（1）求证：点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；
（2）求△PQM面积的最小值．

Answer

（1）设P（x1，x12），Q（x2，．x22），再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而得出切线的方程，结合l1⊥l2得点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；
（2）令x1+x2=k，由（1）知点M坐标，直线PQ方程，利用点到直线距离S△PQM的面积，最后利用基本不等式求出面积的最小值即可．
【解析】
（1）设P（x1，x12），Q（x2，．x22），
又y'=2x
则l1方程为y-x12=2x1（x-x1）
即y=2x1x-x12①l2方程为y=2x2x-x22②
由①②解得（3分）
由l1⊥l2得2x12x2=-1
即
所以，（5分）
PQ方程为y-x12=（x1+x2）（x-x1）
即y=（x1+x2）x-x1x2
即
由此得直线PQ一定经过点（8分）
（2）令x1+x2=k，
则由（1）知点M坐标
直线PQ方程为（10分）
∴点M到直线PQ距离=．（12分）
∴，
当k=0时“=”成立，
∴S△PQM最小值为．（15分）