Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间．

Answer

（1）先对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=-2即可得到答案．
（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx-3，可得f′（x）=2ax+b．
由题设可得即
解得a=1，b=-2．
所以f（x）=x2-2x-3．
（Ⅱ）由题意得g（x）=xf（x）+4x=x3-2x2+x，
所以g′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得，x2=1．
所以函数g（x）的单调递增区间为，（1，+∞）．