Question

已知直线l：kx-y+1+2k=0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．

Answer

（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．
（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，
注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．
【解析】
（1）证明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，
∴无论k取何值，直线过定点（-2，1）．
（2）令y=0得A点坐标为（-2-，0），
令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），
∴S△AOB=|-2-||2k+1|
=（2+）（2k+1）=（4k++4）
≥（4+4）=4．
当且仅当4k=，即k=时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x-y+1+1=0．
即x-2y+4=0