Question

已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（-3，0）．
（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知中圆C：（x+4）2+y2=4，点D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠APB=kBP得到结果．
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的坐标，进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出∠APB的最大值；
（3）假设存在点Q（b，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．
【解析】
（1）∵|CD|=5，
∴圆D的半径r=5-2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）
∴tan∠APB=kBP=2（3分）
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则（r+2）2=16+a2，A、B的坐标分别为（0，a-r），（0，a+r）
∴，
∴==
∵|r+2|2≥16，
∴r≥2，
∴8r-6≥10，
∴
∴．（8分）
（3）假设存在点Q（b，0），由，，得
∵a2=（r+2）2-16，
∴
欲使∠AQB的大小与r无关，则当且仅当b2=12，即，
此时有，即得∠AQB=60°为定值，
故存在或，使∠AQB为定值60°．（13分）