(1)由四棱柱的结构牲,可得AC是A1C在平面ABCD上的射影,及AC⊥BD,由三垂线定理可得BD⊥A1C;
(2)连接A1E,C1E,我们根据二面角的定义可得∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角,解△A1EC1,即可求出二面角A1-BD-C1的大小;
( 3)过B作BF∥AD交CD于F,则∠FBC1为异面直线AD与BC所成角,解Rt△BCF,即可求出异面直线AD与BC所成角的余弦值.
【解析】
(1)∵棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,
∴AA1⊥平面ABCD,
又AB=AD,CB=CD,
故△ABC≌△ADC
则∠BAC=∠DAC
故AE为等腰△BAD中顶角的角平分线
故AE⊥BD
即AC⊥BD,AC是A1C在平面ABCD上的射影,由三垂线定理知A1C⊥BD …(4分)
(2)连接A1E,C1E,
∵E为AC与BD的交点且AC⊥BD,
∴A1E⊥BD,C1E⊥BD,
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角,…(6分)
∵AB⊥BC,
∴AD⊥DC,
∴∠A1D1C1=∠ADC=90°,
又∵A1D1=AD=2,D1C1=DC=2,A1A=,AC⊥BD,
∴A1C1=4,AE=1,EC=3,
∴A1E=2,C1E=2,
在△A1EC1中,A1C12=A1E2+C1E2,
∴∠A1EC1=90°,
∴二面角A1-BD-C1为90° …(10分)
( 3)∵AD⊥DC,
∴AD⊥平面CD1,过B作BF∥AD交CD于F,
则∠FBC1为所求的角,BF⊥平面CD1,
∵AD=AB=2,AD⊥DC,AC⊥BD,
∴CD=CB=2,
∴∠BCD=60°,
在Rt△BCF中,BF=BCsin60°=3,
∵BC1=,
∴cos∠FBC1==
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为 …(14分)