Question

已知函数f（x）=x²+alnx（a∈R）
（1）若f（x）[1，e]上是增函数，求a的取值范围；
（2）若a=1，a≤x≤e，证明：f（x）x³．

Answer

（1）根据函数f（x）=x2+alnx在[1，e]上是增函数，则在[1，e]上恒成立，由此转化为函数恒成立问题，并用参变量分离转化为a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
（2）根据题中条件，a=1求出函数f（x）的解析式，将不等式变形，构造一个新的函数F（x），再根据F（x）的导函数在[1，e]上恒小于0，所以得到F（x）单调递减，从而求出F（x）在[1，e]上的最值小于0，即可证得f（x）x3．
【解析】
（1），且在[1，e]上是增函数，
∴≥0恒成立，即a≥-x2在[1，e]上恒成立，
∴a≥-1                          …（6分）
（2）证明：当a=1时，f（x）=，x∈[1，e]，
令F（x）=f（x）-，
∴，
∴F（x）在[1，e]上是减函数，
∴．
∴x∈[1，e]时，．…（12分）