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已知向量,(其中实数y和x不同时为零),当|x|<2时,有,当|x|≥2时,. ...

已知向量manfen5.com 满分网,(其中实数y和x不同时为零),当|x|<2时,有manfen5.com 满分网,当|x|≥2时,manfen5.com 满分网
(1)求函数式y=f(x);
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若对∀x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),都有mx2+x-3m≥0,求实数m的取值范围.
(1)因为当|x|<2时,得•=0得到y与x的关系式;当|x|≥2时,时,得到=,联立得到f(x)为分段函数; (2)要求函数f(x)的单调递减区间即分区间令y'<0求出x的范围即可; (3)根据mx2+x-3m≥0解出,分区间讨论x的范围得到f(x)的最大值,让m大于等于最大值即可求出m的范围. 【解析】 (1)当|x|<2时,由得,y=x3-3x;(|x|<2且x≠0) 当|x|≥2时,由.得 ∴ (2)当|x|<2且x≠0时,由y'=3x2-3<0, 解得x∈(-1,0)∪(0,1), 当|x|≥2时, ∴函数f(x)的单调减区间为(-1,1); (3)对∀x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),都有mx2+x-3m≥0即m(x2-3)≥-x, 也就是对∀x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)恒成立, 由(2)知当|x|≥2时, ∴函数f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)都单调递增 又, 当x≤-2时, ∴当x∈(-∞,-2]时,0<f(x)≤2同理可得,当x≥2时,有-2≤f(x)<0, 综上所述得,对x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),f(x)取得最大值2; ∴实数m的取值范围为m≥2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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