Question

已知递增的等比数列{a_n}的前三项之积是64，且a₂-1，a₃-3，a₄-9成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）因为数列{an}为递增的等比，所以只要求出a1，q就可求出数列{an}的通项公式．根据前三项之积是64，可以得到一个含a1，q的等式，根据a2-1，a3-3，a4-9成等差数列又可以得到一个含a1，q的等式，两个方程联立，解出a1，x即可
（2）把（1）中所求数列{an}的通项公式代入bn=n•an，求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减，就可得到数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）设公比为q
由题意得：a2=4，
∵2（a3-3）=a2-1+a4-9，∴2（4q-3）=3+4q2-9，解得：q=2
∴an=2n
（2）∵Sn=b1+b2+…+bn
=1×2+2×22+…+n×2n
∴2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1
两式相减得，Sn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1==（n-1）×2n+1+2