Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+3=a_n+3，a_n+2≥a_n+2（n∈N^*）．
（1）求a₇，a₅，a₃，a₆；        
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求证：．

Answer

（1）利用已知条件an+3=an+3，求出a4=4，a7=7，再利用条件an+2≥an+2得到a7，a5，a3，a6值．
（2）利用已知条件an+2≥an+2得到数列的递推关系，利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用通项公式求出
数列{an}的通项公式an．
（3）先求出通项=，再将其放缩，然后利用裂项相消的方法证出不等式．
【解析】
（1）∵a1=1，an+3=an+3，
∴a4=4，a7=7
∵an+2≥an+2
∴a3≥3，a5≥a3+2，a7≥a5+2，
∴a5=5，a3=3，a6=a3+3=6
（2）∵an+3=an+3，an+2≥an+2（n∈N*）
∴an+3≤an+2+1（n∈N*）
∴an+1≤an+1，an+2≤an+1+1
∴an+1+an+2+an+3≤an+an+1+an+2+3，即an+3≤an+3
∴an+1=an+1，an+2=an+1+1，an+3=an+2+1
∴{an}为等差数列，公差d=1．
∴an=n
（3）证明：n=1时，=1＜2成立n＞1时，
∵=（n＞1）
∴
＜=＜2
∴