Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁，AB=2，点E在棱AB上．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E点为线段AB的中点时，求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（3）试问E点在何处时，平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为．

Answer

（1）以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则我们可以确定长方体ABCD-A1B1C1D1中，各点的坐标，求出直线D1E和直线A1D的方向向量后，判断他们的数量积为0，即可得到D1E⊥A1D；
（2）由E为AB的中点时，则我们可以求出满足条件的E点的坐标，进而求出直线AC与D1E的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（3）平面D1EC与平面AA1D1D所成二面角的平面角的余弦值为，则平面D1EC的法向量 与平面AA1D1D的法向量的夹角的余弦值为，求出平面D1EC的法向量 ，构造关于x的方程，解方程即可得到满足条件的AE的值．
【解析】
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（1）因为 =（1，0，1），=（1，x，-1）
∴•=1+0-1=0，所以D1E⊥A1D；
（2）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而 =（1，1，-1），=（-1，2，0），
设AC与D1E所成的角为θ
则 …（9分）
（3）设平面D1EC的法向量为 =（a，b，c），
∵=（1，x-2，0），=（0，2，-1），=（0，0，1）
由 ，有 ，
令b=1，从而c=2，a=2-x
∴=（2-x，1，2），…..（12分）
由题意，cos θ===
∴x=3（不合题意，舍去），或x=1．
∴当AE=1，即E为线段AB的中点时，平面D1EC与平面AA1D1D所成二面角的平面角的余弦值为．