本题考查的是数列与不等式的综合题.在解答时:
(I)首先讨论n=1和n≥2时两种情况,结合通项与前n项和之间的关系通过作差、变形化简即可获得问题的解答;
(II)利用(1)的结论写出相邻的一项对应的关系式,注意保证n≥2.用作差法可分析知数列an为等差数列,进而即可获得数列的通项公式;
(III)首先假设存在λ使得满足题意,然后计算化简bn+1-bn,再结合恒成立问题进行转化,将问题转化为:对任意的n∈N*恒成立.然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围,再结合为整数即可获得问题的解答.
【解析】
(Ⅰ)证明:∵a13+a23+a33+…+an3=Sn2,
当n=1时,a13=a12.
∵a1>0,∴a1=1.
当n≥2时,a13+a23+a33+…+an3=Sn2.①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12.②
①-②得 an3=an(2a1+2a2+…+2an-1+an)
∵an>0,∴an2=2a1+2a2+…+2an-1+an,
即an2=2Sn-an.
∵a1=1适合上式,
∴an2=2Sn-an(n∈N*).(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an2=2Sn-an(n∈N*).③
当n≥2时,an-12=2Sn-1-an-1.④
③-④得an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1.
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1.
∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,可得an=n.(8分)
(Ⅲ)∵an=n,∴.
欲使bn+1-bn=[3n+1+(-1)nλ•2n+1]-[3n+(-1)n-1λ•2n],
即成立.⑤
当n=2k-1,k=1,2,3,…时,⑤式即为.⑥
依题意,⑥式对k=1,2,3…都成立,∴λ<1.
当n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为.⑦
依题意,⑦式对k=1,2,3,…都成立,∴.
∴.
∴存在整数λ=-1,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn.(12分)