Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；
（2）求证：PC∥平面EBD；
（3）求V_P-ABCD．

Answer

（1）由已知中PB⊥底面ABCD，由线面垂直的性质可得PB⊥CD，结合CD⊥PD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PCD⊥平面PBD；
（2）连接AC交BD于G，连接EG，由平行线分线段成比例定理，可得PC∥DE，再由线面平行的判定定理，可得PC∥平面EBD；
（3）求出底面ABCD的面积，结合PB⊥底面ABCD，将底面积和高代入棱锥体积公式，即可得到答案．
【解析】
（1）证明：∵PB⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴PB⊥CD，
又由 CD⊥PD，PB∩PD=P
∴CD⊥平面PBD
又∵CD⊂平面PCD
∴平面PCD⊥平面PBD；
（2）连接AC交BD于G，连接EG，
，
∴
∴PC∥DE
又∵PC⊄平面EBD，DE⊂平面EBD
∴PC∥平面EBD；
（3）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=3，
由（1）中BD⊥CD得BC=6
∴S梯形ABCD=
PB⊥底面ABCD，PB=3
∴VP-ABCD=•PBS梯形ABCD=