Question

已知函数f（x）=|=2
（1）求证：0＜a≤1．（2）求证：|b|≤．

Answer

（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+x2-a2x（a＞0）的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），可以得到△＞0且由韦达定理可得x1+x2，x1x2，把等式转化为关于x1+x2，x1x2的关系式，求出a、b的关系，即可求出a的范围；
（2）把a看成未知数x，求三次函数的最值，利用导数求极值，是b2最大值，开方可求|b|的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=x3+x2-a2x（a＞0）
∴f′（x）=ax2+bx-a2（a＞0）
∵函数f（x）=x3+x2-a2x（a＞0）的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），
∴f'（x）=0有两不等实根x1，x2（x1≠x2），
∴△＞0，∴b2+a3＞0，恒成立，
∴x1+x2=-，x1x2=-a，∵|x1|+|x2|=2，
∴（|x1|+|x2|）2=x12+x22-2x1x2=（x1+x2）2-4x1x2=4，
∴+4a=4，则=4-4a≥0
∴0＜a≤1
（2）根据（1）得b2=-4a3+4a2
设t=-4a3+4a2，则t′=-12a2+8a=-4a（3a-2）（0＜a≤1），
令t′＞0，得0＜a＜，t′＜0，得＜a＜1，
t在（0，]是增函数，在（，+∞）是减函数，
∴a=取得t最大96，∴b2最大值为，即|b|≤．