Question

已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m、n，（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？

Answer

（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求，故函数解析式可求；
（2）利用函数的最大值可知f（x）在[m，n]上单调递增，从而可建立方程组，故满足条件的m，n存在．
【解析】
（1）∵方程ax2+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）2=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴，∴f（x）的解析式为；
（2）∵，∴，∴，∴f（x）在[m，n]上单调递增，
若满足题设条件的m，n存在，则，∴即这时定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．